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教师资格备考:求数列通项公式的几种方法
来源:联创世华 时间:2018-06-26 11:57:36 编辑:liulifang 浏览次数:
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教师资格备考:求数列通项公式的几种方法

 

数列知识是高中数学的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一。小编整理了几种求数列通项公式的方法,供大家准备高中数学教师资格学科考试时参考。

 

一、累差法

递推式为:an+1=an+f(n)(f(n)可求和)

思路::n=1,2,,n-1可得

       a2-a1=f(1)

a3-a2=f(2)

a4-a3=f(3)

……

an-an-1=f(n-1)

将这个式子累加起来可得

an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

f(n)可求和

an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)

当然我们还要验证当n=1,a1是否满足上式

 

1、已知数列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an

解: n=1,2,,n-1可得

 a2-a1=2

a3-a2=22

a4-a3=23

……

an-an-1=2n-1

将这个式子累加起来可得

an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

f(n)可求和

∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

     n=1,a1适合上式

     an=2n-1

 

二、累商法

递推式为:an+1=f(n)anf(n)要可求积)

思路:令n=1,2, …,n-1可得

        a2/a1=f(1)

        a3/a2=f(2)

        a4/a3=f(3)

……

an/an-1=f(n-1)

 将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)

  ∵f(n)可求积

  ∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)

 当然我们还要验证当n=1a1是否适合上式

2、在数列{an},a1=2,an+1=(n+1)an/n,an

 n=1,2, …,n-1可得

   a2/a1=f(1)

     a3/a2=f(2)

     a4/a3=f(3)

……

an/an-1=f(n-1)

将这个式子相乘后可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)

an=2n

n=1an也适合上式

∴an=2n

 

,构造法

1、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)

思路设递推式可化为an+1+x=p(an+x),an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)

故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)

构造数列{bn},bn=an+q/(p-1)

bn+1=pbnbn+1/bn=p,{bn}为等比数列.

故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an

 

3、数列{an},对于n>1(n€N)an=2an-1+3,an

  设递推式可化为an+x=2(an-1+x),an=2an-1+x,解得x=3

      故可将递推式化为an+3=2(an-1+3)

      构造数列{bn},bn=an+3

      bn=2bn-1bn/bn-1=2,{bn}为等比数列且公比为3

      bn=bn-1·3,bn=an+3

      bn=4×3n-1

      an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1

 

2、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数)

思路:在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1

        an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q

构造数列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q

故可利用上类型的解法得到bn=f(n)

再将代入上式即可得an

 

4、数列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an

解: an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1

     2n+1an+1=(2/3)×2nan+1

构造数列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1

故可利用上类型解法解得bn=3-2×(2/3)n

2nan=3-2×(2/3)n

an=3×(1/2)n-2×(1/3)n

 

3、递推式为:an+2=pan+1+qanp,q为常数)

 思路:设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)

    也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到x+y=p,xy= -q

    解得x,y,于是{bn}就是公比为y的等比数列(其中bn=an+1-xan

    这样就转化为前面讲过的类型了.

 

5、已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an

解:设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)

也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an,则可得到x+y=2/3,xy= -1/3

可取x=1,y= -1/3

构造数列{bn},bn=an+1-an

故数列{bn}是公比为-1/3的等比数列

bn=b1(-1/3)n-1

   b1=a2-a1=2-1=1

   bn=(-1/3)n-1

   an+1-an=(-1/3)n-1

故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n€N*)

 

四、利用snn、an的关系求an

1、利用snn的关系求an

   思路:当n=1  时,an=sn

    当n≥2 时, an=sn-sn-1

 

6、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.

解:当n=1  时,an=sn2

n≥2 时, an=sn-sn-1n+1-[(n-1)2+1]=2n-1

n=1时,a1=2不适合上式

∴当n=1  时,an=2

   当n≥2 时, an=2n-1

 

2、利用snan的关系求an

   思路:利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式,这样我们就可以利用前面讲过的方法求解

 

例7、在数列{an}中,已知sn=3+2an,求an

解:即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)

      an=2an-1

∴{an}是以2为公比的等比数列

∴an=a1·2n-1= -3×2n-1

 

五、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明.

    思路:由已知条件先求出数列前几项,由此归纳猜想出an,再用数学归纳法证明

8、已知数列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an

解:由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6

由此猜想an=n+1,下用数学归纳法证明:

n=1时,左边=2,右边=2,左边=右边

 即当n=1时命题成立

假设当n=k时,命题成立,即ak=k+1

 则 ak+1=a2k-kak+1

      =(k+1)2-k(k+1)+1

      =k2+2k+1-k2-2k+1

      =k+2

      =(k+1)+1

∴当n=k+1时,命题也成立.

综合(1),(2),对于任意正整数有an=n+1成立

an=n+1

 

 


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